割线靠近一点时，导数取的是斜率的极限

看到导数定义中的h趋近零，容易把它理解成最后把h写成零再计算。这样却会直接遇到分母为零。导数定义真正比较的是一系列非零间距下的差商，再问这些值是否趋向同一个有限结果。

OpenStax《Calculus Volume 1》第3.1节把差商与割线斜率联系起来：在a与a+h两个不同位置之间，斜率为[f(a+h)−f(a)]/h，其中h不为零。[1] 这两个点确定了一条割线，表达两个位置之间函数值的平均变化，而非已经得到a点的瞬时变化率。

当h趋近零，若上述差商存在有限极限，就把这个极限称为函数在a处的导数f′(a)。同节也用x趋近a写出等价定义。两种记号改变了间距的表达方式，仍保留“极限存在”的条件，不能只把越来越近的图像观感当成证明。

可以用本文自行演算的f(x)=x²、a=1说明顺序。h不为零时，差商为[(1+h)²−1]/h，展开后是(2h+h²)/h，也就是2+h。这里能够约去h，是因为此时仍限定h不为零；随后令h趋近零，所得极限为2。

这个例子的2是导数值，不是把原差商的分母直接换成零算出来的。若只保存最后一个数字，会隐藏前面两个不同对象：非零间距的割线斜率，与间距趋近零时的极限。例子是基础代数推导，没有对应运动实验、考试测评或数值软件运行。

来源还用切线斜率和瞬时变化率解释导数。阅读这些解释时，应继续保留存在条件；并非任何函数在任何点都一定有导数，也不能只取一个很小的h就宣布已严格求出极限。本文独立组织概念和演算，没有复刻教材图表或练习答案。把差商、趋近过程和极限值分开写，能说明计算每一步究竟在处理什么。