根式方程平方之后，为什么求得的候选值还要代回原式

根式方程两边平方，看上去已经把根号消去，为何最后还要验根？因为原来相等的两边平方后仍然相等，反过来却未必成立。正数与它的相反数，平方结果相同；只比较平方后的式子，会丢掉原来的一部分条件。

OpenStax《Elementary Algebra 2e》第9.6节在介绍根式方程时，提醒读者平方根符号表示非负的主平方根，并说明两边平方可能得到不满足原方程的代数解，这类值称为增根。[1] 本篇采用这段概念说明，没有照搬网页提取时已失去部分根号格式的例题。

用本文自行编写并验算的sqrt(x+20)=x说明，sqrt在这里表示非负平方根。原式要求x+20不小于零；由于左边非负，若等式成立，右边x也必须不小于零。先把这些条件写下，就知道负的候选值不能只靠后续平方结果获得通行。

两边平方得到x+20=x²，移项为x²−x−20=0，分解为(x−5)(x+4)=0。因此，平方后的方程给出5与−4两个候选值。这里的计算只说明它们满足变换后的方程，尚未宣布两者都是原根式方程的解。

把5代回原式，左边sqrt(25)=5，与右边5相等。把−4代回去，左边sqrt(16)=4，右边却是−4，二者不相等。因此原方程的解是5，−4属于这次平方带来的增根。整个例子是基础代数演算，没有对应考试题目或学习效果测量。

这也解释了验根在核对什么：它回到原方程，检查平方过程中被弱化的条件有没有仍然成立，而非只把数字再代入平方后的式子。后者当然会接受这两个候选值，却不能回答原来的根式等式是否成立。

本次阅读了该节提取文字，采用开头关于主平方根、增根与检查原式的说明；网页中部分数学排版提取失真，本文不据此重建其例题、图表或应用公式。平方可帮助找候选值，回到原式检验，才完成从候选到解的判断。