复合函数的第二道入口：为什么只看两个定义域的交集不够

复合函数不是把两个函数的结果简单相乘，也不是让同一个输入分别走完两个互不相关的过程。OpenStax《Precalculus 2e》的函数复合章节，将它解释为一个函数的输出成为另一个函数的输入。这个中间交接同时决定了运算顺序和定义域条件。

写成f(g(x))时，先计算括号里面的g，再把g(x)所得结果交给f。原始输入x只先进入g，随后进入f的已经是中间结果，而不是自动再用原来的x。这也是为何看见两个函数并列，就把复合写成f(x)乘g(x)，会改变原表达式含义。

用本文自拟的f(t)=t²、g(x)=x+3比较，在x=1时，先经过g得到4，再经过f得到16。相反的顺序先算f(1)=1，再算g(1)=4，结果为4。若计算乘积f(1)g(1)，也得到4，但它与反向复合在这个输入上碰巧相等，并没有使乘积与复合成为同一种运算。

这个例子还需保留一个边界：一般不交换，不等于每一个输入上的结果必定都不同。判断两个函数是否相同，需要看它们在各自定义域中的整体关系，不能因某个输入偶然得到相同结果就结束。OpenStax也明确讨论了单个输入相等不足以使两个函数相等的问题。

定义域需要继续沿着两道入口检查。第一道是x必须在g的定义域里，否则连中间结果都无法得到。第二道是已得到的g(x)必须落在f的定义域里，否则后续运算仍没有定义。这两项条件中的对象不相同：一个检查x，另一个检查g(x)。

再用一组自拟函数，f(t)=1/(t-2)，g(x)=x+5。在实数范围内，g可以接受任意x；f不能接受的输入是2。因此要排除的是让x+5等于2的原始输入，也就是x=-3。复合后为1/(x+3)，所得限制也与这个判断一致。

如果未经中间交接，只把两个原定义域机械求交，就会错误排除x=2，却放进真正不合格的x=-3。事实上，x=2经过g得到7，进入f后分母为5，并不存在这里担心的零分母。不能接受2的是f自己的入口，不是所有出现在原始输入位置的数字2。

这些数值、函数及计算均由本文自拟，用于解释章节中的定义与定义域原则，未照搬练习答案。本文也未采用提取文本中缺失根号的式子。复合的关键不是公式书写有几层括号，而是每一层接收什么：原始输入先合法，中间输出再合法，顺序和范围才能一起说清。