重零点仍可能穿过横轴：从重复因子的奇偶看两侧符号

一个实多项式在某处等于零，并没有单独交代它在该处怎样经过横轴。OpenStax《Precalculus 2e》第3.4节把因式分解中某个因子的重复次数称为零点的重数，并将偶数重数的触及与奇数重数的穿越分开。[1] 因此，重零点仍可能穿越横轴；是否重复与重复次数是否为偶数，不是同一个条件。

本文自拟f(x)=(x-4)²(x+1)³。令任一因子为零，得到两个不同的实零点：四与负一。因子(x-4)出现两次，所以四的重数为二；因子(x+1)出现三次，所以负一的重数为三。重复次数没有增加新的横坐标，三次出现同一个因子，也不能登记成三个位置不同的零点。

在四附近，可以限定看三与五之间的输入。此时x+1始终为正，其三次方也为正；(x-4)²在四左右均为正，只在四本身等于零。于是f在这一区间除四之外都为正，到了四降至零后，另一侧仍在横轴上方。例如自拟输入3.9与4.1，前一个的x-4为负，后一个为正，但平方都成为正数。这个符号关系对应教材所述偶重零点处触及而不穿越。

负一附近则可以看负二与零之间。这里(x-4)²一直为正，而x+1在负一左侧为负、右侧为正；三次方保留这一正负变化，所以整个乘积也随之变号。在-1.1与-0.9两个自拟输入上，分别得到负值和正值。它们用来展示已分析的邻域符号，并不是仅用两个取样点代替对整个附近区间的判断。

比较这两个零点，可以看到同一函数内有两种局部关系。两处都满足函数值为零，也都有重复因子；区别落在二次与三次的奇偶。教材对三重零点的文字描述，明确说它仍穿过轴线，只是在附近较平。因而，较平与不穿越也不能互相替代：三重零点把这两项性质区分开了。

穿越的方向还可以单独改变。若另取自拟函数g(x)=-2f(x)，两个因子及其重数保持不变，但非零函数值的符号全部反转。四附近原来两侧为正，变成两侧为负，仍是触及；负一附近原来从负转正，变成从正转负，仍是穿越。奇偶说明是否穿越，并未仅凭自己决定上穿还是下穿，整体乘上的负常数在这个例子里改变了方向。

这个负二是常数因子，本身不会因输入变化而等于零；它不能像(x-4)或(x+1)那样再提供一个零点。直接代入负二，f(-2)=36×(-1)=-36，g(-2)=72，都不为零。这里负二在式中出现，与横坐标负二是否为零点是两项判断：前者是乘数，后者要看整个函数在那个输入上的值。

教材还分别讨论更高的偶数重数和奇数重数：四、六、八次仍触及并返回，五、七、九次仍穿越，而接近零点时的外形会更平。本文只转述这些连续文字，没有查看书中图形。上述因式、区间与输入均为自行拟定并核算的数学说明，采用实零点附近的关系；网页首发日未确认，不涉及现实测量、工程或考试代答。