约去共同因子后，为什么原函数仍可能留下一个缺口

自拟有理函数f(x)=(x-5)(x+2)/[(x-5)(x-1)]，分母在5与1处为零，这两个输入都不在原函数定义域中。OpenStax将有理函数定义为多项式之商，并说明其定义域排除使分母为零的实数。[1] 因而，即使输入5也同时使分子为零，原式仍没有给出f(5)的值。

在允许的输入上，分子与分母的共同因子x-5可以约去，留下(x+2)/(x-1)。这个等值改写依赖x-5不为零；它没有把原来不允许的5变成允许。如果另定义g(x)=(x+2)/(x-1)，新函数在5处可取7/4，但这个数属于g的定义，不是把原来0/0算出了答案。f与g在共同允许的输入上取值相同，完整定义域却相差一个点。

教材把图中单个未定义点所形成的孔称为removable discontinuity，即可去间断点。[1] 对f而言，5处缺的是与简化式有限数值7/4相应的一个点。无需看图，也能从两个表达式说明这一关系：f排除了5，g却有对应输出；把简化式写在旁边，与已经为原函数补入这个输出，是两种不同的数学定义。

在另一个被排除的输入1附近，情况反过来。简化式的分子接近3，分母接近零。自拟代入0.9得到-29，代入0.99得到-299；从另一侧代入1.1得到31，1.01得到301。这里展示的是越来越接近1时输出向负或正的无界方向发展，不是靠少数取样就证明全部趋势；分子接近非零的3而分母趋零，给出了这组结果的代数原因。教材将这类行为联系到垂直渐近线。[1]

分子和分母共有零因子，也并不总能形成孔。再取h(x)=(x-5)/[(x-5)²]，原式仍排除5。分子有一份x-5，分母有两份；约去共同的一份后，还剩1/(x-5)，分母的零因子没有消失。来源特别限定，若同一因子在分母中的重数更高，该处仍有渐近线。[1] 所以，只检查代入后分子分母是否同时为零，还没有查清共同因子能否完全消去。

若改为k(x)=(x-5)²/(x-5)，数量关系又改变了。分母的一份因子可完全约去，留下x-5；原式依然排除5，简化后的表达式在那里则为零。这是一个有限的缺口值，而不是原函数的零点：原函数在5处根本没有定义，不能把简化式的零值登记成它已经取得的输出。

原定义域还决定分子的哪些零点真正成为函数零点。对于前面的f，分子在5与负二处都为零；负二代入分母却得到负七乘负三，即21，因此f(负二)=0。5则因分母也为零而被排除。同一分子给出的两个零点候选，只有负二对应原函数已定义的零值。登记分子因子的位置之后，还需保留原分母的限制，才能把函数零点与前面k在5处缺失的零值位置区分开。

有理函数也可以只有渐近线而没有这种共同因子缺口。例如自拟q(x)=(x²+1)/[(x-2)(x+3)]，分母在2和-3处为零，分子分别为5和10，没有相应零因子可约去。这两处都属于未被消去的分母限制。与前面f同时含5处缺口和1处渐近线相比，缺失输入的数目相同，并不规定缺失附近一定呈现同一种行为。

文中有理式及代入均为自行拟定并核算的实数数学说明，未使用教材应用题或观看图形，不涉及现实工程、金融模型与考试代答；网页首发日期未确认。